2020年度 大気科学演習１

gnuplot

練習問題４ー１

以下の式を図に描く

• sin(x)
• sin(x) + (1/3) sin(3x)
• sin(x) + (1/3) sin(3x) + (1/5) sin(5x)
• sin(x) + (1/3) sin(3x) + (1/5) sin(5x) + (1/7) sin(7x)
• sin(x) + (1/3) sin(3x) + (1/5) sin(5x) + (1/7) sin(7x) + (1/9) sin(9x)

ヒント

• gnuplot もシェルと同様に履歴機能が使える
• 最初は

gnuplot> plot sin(x)

• 次は，上矢印で

gnuplot> plot sin(x)

を呼び出してから，残りを打ち込めばよい

gnuplot> plot sin(x)+(1.0/3.0)*sin(3.0*x)

フーリエの原理

全ての関数は三角関数の和によって表現することができる．すなわち，全ての関数は三角関数に分解することができる．これをフーリエの原理と呼ぶ．また，三角関数の和によって表現したものをフーリエ級数と呼ぶ．

ギブズ現象

＃練習問題４ー１a

• sin(x) - (1/3^2) sin(3x) + (1/5^2) sin(5x) - (1/7^2) sin(7x) + (1/9^2) sin(9x) + ...
• sin(x) + (1/2) sin(2x) + (1/3) sin(3x) + (1/4) sin(4x) + (1/5) sin(5x) + ...

余談

音色は波形によって決まる．楽器の奏でる音だと，クラリネットは矩形波，トランペットは三角波，バイオリンはノコギリ波，にそれぞれ似た波形をもつ(という話を聞いたことがあるような気がするが，本当かどうか知らない)．

＃練習問題４ー２

プランク関数

B(L,T) = C1 L^{-5} / ( pi ( exp( C2 / L / T ) - 1 ) )

L は波長，T は温度，C1 は第一放射定数，C2 は第二放射定数

C1 = 2 pi h c^2 = 3.741832 x 10^(-16) [W/m2]
C2 = h c / k = 1.438786 x 10^{-2} [m K]

h はプランク定数，c は光速，k はボルツマン定数

• プランク関数を波長の関数として描いてみる
• いくつかの温度についてプランク関数を重ねて描いてみる
  • 例えば，青い星の表面温度 10,000K，黄色い星の表面温度 6,000K，赤い星の表面温度 3,000K

ヒント

• 波長の関数として描くということは，波長 L を x に置き換えたらよい

gnuplot> B(x)=C1*(x**(-5))/pi/(exp(C2/x/T)-1)
gnuplot> C1=3.741832e-16
gnuplot> C2=1.438786e-2
gnuplot> T=6000.0
gnuplot> plot B(x)

• 横軸の範囲を設定して，対数軸を使う

gnuplot> set xrange [1e-7:1e-5]
gnuplot> set logscale x
gnuplot> set logscale y
gnuplot> plot B(x)

• 「仮数 x 10^(指数)」で表示する

gnuplot> set format x "%.0tx10^{%T}"
gnuplot> set format y "%.0tx10^{%T}"
gnuplot> plot B(x)

＃練習問題４ー３

対数螺旋を描く

• 媒介変数表示

x = a exp( b*t ) cos(t)
y = a exp( b*t ) sin(t)

ここで a と b は定数

• b>0 と b<0 の場合，両方を描いてみる
• そこそこ見栄えのする図をつくる
• スクリプトにする

余談

対数螺旋はベルヌーイの螺旋とも呼ばれる． ヤコブ・ベルヌーイは，墓石に対数螺旋を彫ってもらいたかったが，誤ってアルキメデスの螺旋が彫られてしまった．というのは有名な話．

＃練習問題４ー３a

アルキメデスの螺旋を描く

• 極座標では

r = a t

ここで a は定数，r は動径(原点からの距離)，t は偏角

ヒント

• 極座標(r,t)とデカルト座標(x,y)の関係は

x = r cos(t)
y = r sin(t)

• アルキメデスの螺旋は

r = a t

• x と y を t だけの関数として書くと

x = a t cos(t)
y = a t sin(t)

＃練習問題４ー３b

リサジュー図形

• 媒介変数表示

x = A cos( at + d )
y = B cos( bt )

ここで，A, B, a, b, d は定数．

• パラメータを以下のように設定してリサジュー図形を描く

A = B
a : b = 5 : 6
d = 0

こんなところにリサジュー図形

電気通信大学の校章

＃練習問題４ー３c

魔女の線画

＃練習問題４ー４

gnuplotは極座標系も使うことができる． 極座標系を使うときは

set polar

とする

• アルキメデスの螺旋を描く
  • 極座標系で書いた式は練習問題４ー３aにある
• 対数螺旋を描く
  • デカルト座標系で書いた式は練習問題４ー３にある
  • (x,y) の式を (r,t) の式にしたらよい，すなわち r を t の関数として書いたらよい